EXERCICE I :

	a	b	c
a	a	c	b
b	c	b	a
c	b	a	c

Sur E = { a, b, c, } on définit une loi de composition interne  par sa table de Pythagore :

1) Calculer (ab) c  et  (ac) b

2) Trouver les propriétés de cette loi (commutativité, associativité)

3) Admet-elle un élément neutre?

EXERCICE II :

*	0	1	2	3	4
0	0	1	4	4	1
1	1	2	0	0	2
2	4	0	3	3	0
3	4	0	3	3	0
4	1	2	0	0	2

Sur l'ensemble des nombres entiers naturels N on définit une loi de composition  par :
          (a,b)N2             
1) Est-ce une loi interne?
2) On définit la même loi sur Q. Est-elle commutative? Associative?

EXERCICE III :

Dans l’ensemble E = {0,1,2,3,4} on définit une loi de composition interne * par sa table de Pythagore :

1) Cette loi est-elle commutative? Associative? Admet-elle un élément neutre?
2) Calculer 1*2 et 1*3. Que peut-on en conclure?

EXERCICE IV : On se propose de définir et d’étudier une addition dans Z₅.

1) Montrer que
En déduire qu’en additionnant un élément quelconque a’ de  et un élément quelconque b’ de  on obtient toujours un élément de
2) On définit une addition dans Z₅ par . Construire la table de Pythagore de cette addition.
3) Montrer que cette addition est commutative, associative et qu’elle admet un élément neutre.
4) (Z₅,+) est-il un groupe ?

EXERCICE V : On se propose de définir et d’étudier une addition dans Z_n n un entier naturel ≥2

1) Montrer que
En déduire qu’en additionnant un élément quelconque a’ de  et un élément quelconque b’ de  on obtient toujours un élément de
2) On définit une addition dans Z_n par . Montrer que cette addition est une loi de composition interne.
3) Montrer que cette addition est commutative, associative et qu’elle admet un élément neutre.
4) (Z_n,+) est-il un groupe ?

EXERCICE VI :

Sur l’ensemble des rationnels non nuls Q* on définit la loi  par :
1) Montrer que cette loi n’est ni commutative ni associative.
2) Former cinq produits de composition différents avec les quatre rationnels a, b, c et d.  (dans cet ordre).

EXERCICE VII :

Sur l'ensemble des nombres entiers naturels N on définit deux lois de composition internes  et  par :
          (a,b)N2 
          (a,b)N2 
1) Sont-elles commutatives? Associatives?
2) Y a-t-il distributivité d'une loi par rapport à l'autre?

EXERCICE VIII :

Soit R l'ensemble des nombres réels complété par un point ∞ et soit F l’ensemble des quatre fonctions f₁, f₂, f₃, f₄ définies par :
On munit F de la composition habituelle des fonctions. Donner la table de composition de F et en tirer les propriétés de cette loi.

EXERCICE IX :

Soit E = ]-1   1[. On définit une loi de composition * par :
Montrer que c’est une loi de composition interne dans E.